Exercițiul 1

Paradoxul St. Petersburg

Se aruncă cu zarul, până zarul dă 6.

X \sim (\begin{matrix} 2 & 2^{1} & 2^{2} & \dots & 2^{n} & \dots \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} & {(\frac{5}{6})}^{2} \cdot \frac{1}{6} & \dots & {(\frac{5}{6})}^{n} \cdot \frac{1}{6} & \dots \end{matrix})

Variabilă aleatoare discretă.

Probabilitatea ca jocul să se termine este

p = \frac{1}{6} definim q = 1 - p

X \sim (\begin{matrix} 2^{0} & 2^{1} & 2^{2} & \dots & 2^{n} & \dots \\ p & q \cdot p & q^{2} \cdot p & \dots & q^{n - 1} \cdot p & \dots \end{matrix})

Verificăm dacă avem o funcție de masă.
Presupunem $p > 0$ , deci toate probabilitățile for fi pozitive.

De asemenea, trebuie verificat că suma probabilităților este 1:

\sum_{n \geq 0} p \cdot q^{n} = p \sum_{n \geq 0} q^{n} = \frac{p}{1 - q} = 1 ◻

Aflăm media (expected value)

\begin{aligned} E [X] & = \sum_{n \geq 0} 2^{n} q^{n} p = p \sum_{n \geq 0} (2 q)^{n} = {\begin{cases} \infty, 2 q \geq 1 \\ \frac{p}{1 - 2 q}, 2 q < 1 \end{cases} \\ = {\begin{cases} \infty, p \leq \frac{1}{2} \\ \frac{p}{2 p - 1}, p > \frac{1}{2} \end{cases} \end{aligned}

X \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 6 & 22 & 200 & 1000000 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{matrix})

Media este

E [X] = 166705

Merită?

Valoarea unui joc depinde de suma disponibilă a jucătorului
Percepem avantajul real/utilitatea. (emoulementum) a unui bun relativ la cantitatea deja existentă.

d E M = \frac{d w}{w} ⟹ E M = \int \frac{d w}{w} = \ln w

Deci

E M [X] = E [\ln X]

B E V [x] = e^{E M [X]} = e^{E [\ln x]}

Deci

B E V [X] = e^{E [\ln x]} = e^{\frac{\ln 1 + \ln 2 + \dots + \ln 10^{6}}{6}} = 61 < E [X]

Am $100000$

\begin{aligned} B E V [X + 50000] & = (50001 + 50002 + 50006 + 50022 + 50200 + 1050000)^{\frac{1}{6}} \\ = 83114 \end{aligned}

Generalizăm: avem o sumă $w$ , joc cu $α w$ , rămân cu $(1 - α) w$ .
Vrem să aflăm $α$ pentru care: (Kelly point)

B E V [x + (1 - α) w] \approx w