Spații vectoriale euclidiene

Produs scalar

Fie $(V, +, \cdot) |_{R}$ spațiu vectorial real
$g : V \times V \to R$ se numește produs scalar $⟺$

$g \in L^{s} (V, V; R)$ (formă biliniară și simetrică) vezi aici
$g$ este pozitiv definita

Notation

$(V, g)$ , $(E, g)$ , $(E, (\cdot, \cdot))$ , $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ = spațiu vectorial euclidian real (s.v.e.r)
$∥ x ∥ \overset{def}{=} \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ - norma vectorului

Matricea asociată lui $g$ funcționează la fel ca matricea asociată unei forme biliniare simetrice

Repere ortogonale și ortonormate

Reper ortogonal, reper ortonormat

$(V, g)$ s.v.e.r. și $R = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ reper în $V$

$R$ s.n. reper ortogonal $⟺ g (e_{i}, e_{j}) = 0, \forall i \neq j$
$R$ s.n. reper ortonormat $⟺ g (e_{i}, e_{j}) = δ_{i j}$
Unde $δ_{i j} = {\begin{cases} 1, i = j \\ 0, i \neq j \end{cases}$ --> simbolul Kronecker

Bază ortonormată $⟺$ vectori ortogonali doi câte doi și versori (adică de normă 1).

Proprietate

Fie $(V, g)$ s.v.e.r
Atunci, pentru două repere ortonormate și $C$ matricea de trecere.

R = {e_{1}, \dots, e_{n}} \overset{C}{\to} R^{'} = {e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}}

Avem:

C \in O (n) ⟺ C C^{⊤} = I_{n} matrice ortogonala

Demonstrație

\begin{aligned} δ_{k l} = g (e_{k}^{'}, e_{l}^{'}) & = g (\sum_{i = 1}^{n} c_{i k} e_{i}, \sum_{j = 1}^{n} c_{j l} e_{j}) = \\ = \sum_{i, j = 1}^{n} c_{i k} c_{j l} g (e_{i}, e_{j}) = \\ = \sum_{i, j = 1}^{n} c_{i k} c_{j l} δ_{i j} = \\ = \sum_{i = 1}^{n} c_{i k} c_{j l} ⟹ C^{⊤} C = I_{n} ⟹ \\ ⟹ C \in O (n) Q.E.D. \end{aligned}

Observație
$R \overset{C}{\to} R^{'}$ repere ortonormate la fel orientate ( $\det C > 0$ ) $⟹$ $C \in SO (n)$

$SO (n) = {A \in O (n) | \det A = 1}$ - matricile special ortogonale

Propoziție
A da un produs scalar $⟺$ A preciza un reper ortonormat.

Demonstrație

$⟹$
$g : V \times V \to R$ produs scalar, $R = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ reper

$R$ poate fi ales astfel încât relația $g (e_{i}, e_{j}) = δ_{i j}, \forall i, j = \overset{―}{1, n}$ să fie respectată.
Atunci $R$ este reper ortonormat.

$⟸$
$R = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ reper ortonormat. Definim o funcție $g : V \times V \to R$ , astfel încât:

g (e_{i}, e_{j}) = δ_{i j}, \forall i, j = \overset{―}{1, n}

$g$ -produs scalar
Extindem prin liniaritate

g (x, y) = \sum_{i, j = 1}^{n} g_{i j} x_{i} y_{j} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = x_{1} y_{1} + \dots + x_{n} y_{n}

Pentru că $g_{i j} = δ_{i j}$

Exemplu

$g_{0} : R^{n} \times R^{n} \to R, g_{0} (x, y) = x_{1} y_{1} + \dots x_{n} y_{n}$ Produsul scalar canonic, $R_{0}$ reperul canonic. (1)

Avem

g_{0} (e_{i}, e_{j}) = 0

Deci $R_{0}$ reper ortonormat în raport cu $g$ .

$G = I_{n}$ - matricea asociată lui $g$ în raport cu $R_{0}$ $⟹ G = G^{⊤}$ (2)

(1), (2) $⟹$ $g_{0} \in L^{s} (R^{n}, R^{n}; R)$

g_{0} (x, x) = Q (x) = x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} ⟹ {\begin{cases} g_{0} (x, x) > 0, \forall x \neq 0_{R^{n}} \\ g_{0} (x, x) = 0 ⟺ x = 0_{R^{n}} \end{cases}

Deci $g_{0}$ e pozitiv definită.

Produs vectorial

$(R^{3}, g_{0})$ s.v.e.r cu str. canonică. Unde $g_{0} (x, y) = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3}$

Definim produsul vectorial $x \times y$ astfel:

Dacă ${x, y}$ SLD, atunci $x \times y = 0_{R^{3}}$
Dacă ${x, y}$ SLI, atunci avem:

∥ x \times y ∥ = | \begin{matrix} g_{0} (x, x) & g_{0} (x, y) \\ g_{0} (y, x) & g_{0} (y, y) \end{matrix} | = ∥ x ∥^{2} \cdot ∥ y ∥^{2} - g_{0}^{2} (x, y)

g_{0} (x \times y, x) = g_{0} (x \times y, y) = 0

c) $R = {x, y, x \times y}$ reper pozitiv orientat în $R^{3}$ (adică la fel orientat cu $R_{0}$ )

Observație
$\times$ este un determinant formal -> format din vectori și scalari, întoarce vector.

\begin{aligned} x \times y = | \begin{array}{c} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array} | = & e_{1} | \begin{array}{c} x_{2} & x_{3} \\ y_{2} & y_{3} \end{array} | - e_{2} | \begin{array}{c} x_{1} & x_{3} \\ y_{1} & y_{3} \end{array} | + e_{3} | \begin{array}{c} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{array} | \\ = e_{1} Δ_{1} - e_{2} Δ_{2} + e_{3} Δ_{3} \end{aligned}

Deci

x \times y = (Δ_{1}, - Δ_{2}, Δ_{3})

Proprietăți

$x \times y = - y \times x$
$(x \times y) \times z = g_{0} (x, z) y - g_{0} (y, z) x$
Identitate Jacobi: $\sum_{x, y, z}^{c y c} (x \times y) z$

Produsul mixt

Fie $(R^{3}, g_{0})$ s.v.e.r cu struct. canonică și $x, y, z \in R^{3}$

\begin{aligned} z \land x \land y \overset{def.}{=} g_{0} (z, x \times y) & = | \begin{array}{c} z_{1} & z_{2} & z_{3} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array} | = \\ = | \begin{array}{c} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{array} | = x \land y \land z \end{aligned}

Exemplu

Fie $(R^{3}, g_{0})$ s.v.e.r,
$μ = (1, - 1, 2)$ , $ν = (0, 1, 3)$ , $ω = (1, 1, 0)$ .

a) $μ \times ν$
b) $ω \land μ \land ν$

Soluție
a) Calculăm $μ \times ν$ :

μ \times ν = | \begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} | = (| \begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} |, - | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} |) = (- 5, - 3, 1)

b) Calculăm $ω \land μ \land ν = g_{0} (ω, μ \times ν)$ :

g_{0} (ω, μ \times ν) = - 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 0 = - 8

Observații
a)

g_{0} (μ \times ν, μ) = 0

deoarece

(- 5, - 3, 1) \cdot (1, - 1, 2) = - 5 \cdot 1 + (- 3) (- 1) + 1 \cdot 2 = - 5 + 3 + 2 = 0

g_{0} (μ \times ν, ν) = 0

deoarece

(- 5, - 3, 1) \cdot (0, 1, 3) = - 5 \cdot 0 + (- 3) \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 0

Reper ortonormat

R = {μ, ν, μ \times ν}

și

R_{0} = {e_{1}, e_{2}, e_{3}} \overset{C}{\to} R = {μ, ν, μ \times ν}

unde matricea de trecere $C$ este:

C = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 1 & - 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})

Calculul determinantului:

det C = | \begin{matrix} 1 & 0 & - 5 \\ - 1 & 1 & - 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} | = 11 + 24 = 35

∥ μ \times ν ∥ = \sqrt{g_{0} (μ \times ν, μ \times ν)} = \sqrt{25 + 9 + 1} = \sqrt{35}

Ortonormarea unui reper oarecare

Problemă:

$(V, g_{0})$ s.v.e.r. $R = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ reper arbitrar. Există $R^{'}$ reper ortonormat?

Procedeul Gram - Schmidt

$(V, g_{0})$ s.v.e.r. Cu produsul scalar canonic $g_{0} = (\cdot, \cdot) = ⟨ \cdot, \cdot ⟩$

fie $R = {f_{1}, \dots, f_{n}}$ reper arbitrat $⟹ \exists R^{'} = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ reper ortogonal astfel încât

Sp {e_{1}, \dots, e_{n}} = Sp {f_{1}, \dots, f_{n}}

(Sp = spațiul generat de)

Demonstrație

Abordarea este inductivă.

f_{1} \neq 0_{V} alegem e_{1} = f_{1}

Fie:

e_{2} = f_{2} + α_{21} e_{1}

Din condiția de ortogonalitate

\begin{aligned} ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ = 0 & ⟹ ⟨ f_{2} + α_{21} e_{1}, e_{1} ⟩ = 0 ⟹ \\ ⟹ ⟨ f_{2}, e_{1} ⟩ + α_{21} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ = 0 \end{aligned}

De unde rezultă

α_{21} = - \frac{⟨ f_{2}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩}

Și

e_{2} = f_{2} - \frac{⟨ f_{2}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩}

Deci $P_{2}$ :

{\begin{cases} f_{1} = e_{1} \\ f_{2} = \frac{⟨ f_{2}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩} e_{1} + e_{2} \end{cases} ⟹ Sp {f_{1}, f_{2}} = Sp {e_{1}, e_{2}}

Presupunem $P_{k - 1}$ adevărat

{e_{1}, \dots, e_{k - 1}} vectori ortogonali, si Sp {f_{1}, \dots, f_{k - 1}} = Sp {e_{1}, \dots, e_{k - 1}}

Avem:

e_{k} = f_{k} + \sum_{i = 1}^{k - 1} α_{k i} e_{i}

Condiția de ortogonalitate:

0 = ⟨ e_{k}, e_{j} ⟩ = ⟨ f_{k}, e_{j} ⟩ + \sum_{i = 1}^{k - 1} α_{k i} ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩

Din $P_{k - 1}$ știm că $⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = δ_{i j}$ (sunt ortogonali).
Relația devine:

0 = ⟨ f_{k}, e_{j} ⟩ + α_{k j} ⟨ e_{j}, e_{j} ⟩ ⟹ α_{k j} = - \frac{⟨ f_{k}, e_{j} ⟩}{⟨ e_{j}, e_{j} ⟩}

Deci

e_{k} = f_{k} - \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{⟨ f_{k}, e_{j} ⟩}{⟨ e_{j}, e_{j} ⟩} e_{j}

\begin{aligned} {\begin{cases} f_{1} = e_{1} \\ ⋮ \\ f_{k} = \sum_{j = 1}^{k - 1} \frac{⟨ f_{k}, e_{j} ⟩}{⟨ e_{j}, e_{j} ⟩} e_{j} + e_{k} \end{cases} & ⟹ Sp {f_{1}, \dots, f_{k}} = Sp {e_{1}, \dots, e_{k}} \forall k = \overset{―}{1, k} \end{aligned}

Deci

{\begin{cases} f_{1} = e_{1} \\ f_{2} = \frac{⟨ f_{2}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩} e_{1} + e_{2} \\ ⋮ \\ f_{n} = \frac{⟨ f_{n}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩} e_{1} + \dots + \frac{⟨ f_{n}, e_{n - 1} ⟩}{⟨ e_{n - 1}, e_{n - 1} ⟩} e_{n - 1} + e_{n} \end{cases} A^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & \frac{⟨ f_{2}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩} & \dots & \frac{⟨ f_{n}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩} \\ 0 & 1 & \dots & \frac{⟨ f_{n}, e_{2} ⟩}{⟨ e_{2}, e_{2} ⟩} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})

$A$ este matricea de trecere. $\det A^{- 1} = 1$

Avem $R^{'} = {e_{1}, \dots, e_{n}}$ sistem de vectori ortogonali (doi câte doi). Este și sistem de generatori.

| R^{'} | = n = \dim V ⟹ R^{'} reper ortogonal

Schimbările de reper în Gram - Schmidt:

\underset{bază inițială}{\underset{⏟}{R = {f_{1}, \dots, f_{n}}}} \overset{A}{\to} \underset{bază ortogonală}{\underset{⏟}{R^{'} = {e_{1}, \dots, e_{n}}}} \overset{B}{\to} \underset{bază ortonormală}{\underset{⏟}{R^{″} = {\frac{e_{1}}{∥ e_{1} ∥}, \dots, \frac{e_{n}}{∥ e_{n} ∥}}}}

Sunt la fel orientate.

Observație

$v \neq 0_{v}$ , atunci $\frac{v}{∥ v ∥}$ este versor.

g (\frac{v}{∥ v ∥}, \frac{v}{∥ v ∥}) = \frac{1}{∥ v ∥^{2}} g (v, v) = \frac{∥ v ∥^{2}}{∥ v ∥^{2}} = 1

Complement ortogonal

$(V, g)$ s.v.e.r., $x \in V ∖ {0_{V}}$ , $U \subseteq V$ subspațiu vectorial.

$x^{⊥} = {y \in V | g (x, y) = 0} \subseteq V$ subspațiu vectorial (toți vectorii perpendiculari pe x = complementul ortogonal al lui x)
$U^{⊥} = {y \in V | g (x, y) = 0 \forall x \in U} \subseteq V$ subspațiu vectorial

Proprietate:

Pentru $U \subseteq V$ subspațiu vectorial $\exists_{!} U^{⊥} \subseteq V$ subspațiu vectorial (complement ortogonal) astfel încât:

V = U \oplus U^{⊥}

Demonstrație

$\subseteq$
Din definiție:

U + U^{⊥} \subseteq V ⟹ U \oplus U^{⊥} \subseteq V

Demonstrăm $\oplus$

Fie $x \in U \cap U^{⊥} ⟹ g (x, x) = 0 ⟹ x = 0_{V}$

$\supseteq$
Demonstrăm că $V \subseteq U \oplus U^{⊥}$
Fie $v \in V$ și $R = {e_{1}, \dots, e_{k}}$ un reper ortonormat în $U$ .
Fie

v^{'} = v - \underset{not. v^{″} \in U}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{k} ⟨ v, e_{i} ⟩ e_{i}}}

Demonstrăm că $v^{'} \in U_{⊥}$

\begin{aligned} ⟨ v^{'}, e_{1} ⟩ = ⟨ v, e_{1} ⟩ - \underset{⟨ v_{,} e_{1} ⟩}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{k} ⟨ v, e_{i} ⟩ \underset{δ_{1 i}}{\underset{⏟}{⟨ e_{i}, e_{1} ⟩}}}} = 0 \\ ⋮ \\ ⟨ v^{'}, e_{k} ⟩ = ⟨ v, e_{k} ⟩ - \underset{⟨ v, e_{k} ⟩}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{k} ⟨ v, e_{i} ⟩ \underset{δ_{k i}}{\underset{⏟}{⟨ e_{i}, e_{k} ⟩}}}} = 0 \end{aligned}

Deci $v^{'} \in U^{⊥}$

Și $v$ se poate descompune:

v = \underset{\in U}{u^{″}} + \underset{\in U^{⊥}}{u^{'}}

Așadar, din 1, 2 $⟹$ $V = U \oplus U^{⊥}$

Exercițiu 1

$(R^{3}, g_{0})$ s.v.e.r, $u = (1, 2, - 1)$ $⟹$ $∥ u ∥ = \sqrt{6}$

a) $u^{⊥}$
b) determinați un reper ortonormat în $u^{⊥}$

Soluție
a)

\begin{aligned} u^{⊥} = {x \in R^{3} | \underset{x_{1} + 2 x_{2} - x_{3}}{\underset{⏟}{g_{0} (x, u)}} = 0} & = {(x_{1}, x_{2}, x_{1} + 2 x_{2}) | x_{1}, x_{2} \in R} = \\ = {x_{1} \underset{f_{1}}{\underset{⏟}{(1, 0, 1)}} + x_{2} \underset{f_{2}}{\underset{⏟}{(0, 1, 2)}} | x_{1}, x_{2} \in R} = \\ = ⟨ {f_{1}, f_{2}} ⟩ \end{aligned}

Deci $\dim u^{⊥} = 3 - 1 = 2$
$R = {f_{1}, f_{2}}$ reper oarecare în $u^{⊥}$ . Trebuie ortonormat, deci aplicăm G-S.

\begin{aligned} e_{1} = f_{1} = (1, 0, 1) ∥ e_{1} ∥ = \sqrt{2} \\ e_{2} = f_{2} - \frac{⟨ f_{2}, e_{1} ⟩}{⟨ e_{1}, e_{1} ⟩} e_{1} = (0, 1, 2) - \frac{2}{2} (1, 0, 1) = (- 1, 1, 1) ∥ e_{2} ∥ = \sqrt{3} \end{aligned}

Noile repere:

R^{'} = {e_{1}, e_{2}} ortogonal ⟹ R^{″} = {\frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{3}} (- 1, 1, 1)} ortonormal

Avem:

R^{3} = u \oplus u^{⊥}

Deci avem următorul reper ortonormat în $R^{3}$

R = {\frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, - 1), \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1), \frac{1}{\sqrt{3}} (- 1, 1, 1)}

Exercițiu 2

$(R^{3}, g_{0})$ s.v.e.r

$U = {x \in R^{3} | x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0} ⟹ x_{2} = x_{1} + x_{3}$

a) $U^{⊥}$
b) Să se determine $R = \underset{reper U^{⊥}}{\underset{⏟}{R_{1}}} \cup \underset{reper U}{\underset{⏟}{R_{2}}}$ reper ortonormat în $R^{3}$ .
Soluție

a) Dacă luăm coeficienții ecuației planului descris în $U$ , obținem. vezi cursul de geometrie analitica

U^{⊥} = ⟨ {(1, - 1, 1)} ⟩

Avem reper ortonormat în $U^{⊥}$

R_{1} = {\frac{e_{1}}{∥ e_{1} ∥} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, - 1, 1)}

U = {(x_{1}, x_{1} + x_{3}, x_{3}) | x_{1}, x_{3} \in R} = ⟨ {\underset{f_{2}}{\underset{⏟}{(1, 1, 0)}}, \underset{f_{3}}{\underset{⏟}{(0, 1, 1)}}} ⟩

Aplicăm G-S

\begin{aligned} e_{2} = f_{2} = (1, 1, 0) \frac{e_{2}}{∥ e_{2} ∥} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0) \\ e_{3} = f_{3} - \frac{⟨ f_{3}, e_{2} ⟩}{⟨ e_{2}, e_{2} ⟩} e_{2} = \frac{1}{2} (- 1, 1, 2) \frac{e_{3}}{∥ e_{3} ∥} = \frac{1}{\sqrt{6}} (- 1, 1, 2) \end{aligned}

Avem reper ortonormat în $U$

R_{2} = {\frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0), \frac{1}{\sqrt{6}} (- 1, 1, 2)}

Observație
$v = α u, α > 0 \frac{v}{∥ v ∥} = \frac{u}{∥ u ∥}$