Exercițiul 1

C = Cristi are un bug în cod.

A = Alin identifică un cod ca fiind corect (i.e., fără bug-uri)

Probabilitatea de bug

P (C) = \frac{75}{100} = 75 %

P (A | C) = 0.05 P (A | C^{C}) = 0.98

Vrem să aflăm $P (C | A)$

Aplicăm formula lui Bayes

\begin{aligned} P (C | A) & = P (A | C) \cdot \frac{P (C)}{P (A)} \\ = \frac{P (A | C) \cdot P (C)}{P (A | C) \cdot P (C) + P (A | C^{C}) \cdot P (C^{C})} \\ = \frac{0.05 \cdot 0.75}{0.05 \cdot 75 + 0.98 \cdot 0.25} = 0.132 = 13.2 % \end{aligned}

Exercițiul 2

Dacă avem 3 aruncări, probabilitatea ca să avem un șir de 3 capi este:

P (A_{3}) = \frac{1}{8}

Extindem la 4: dacă prima monedă e cap, atunci secvența de 3 e garantată de încă 2 monede de tipul cap imediat după aceasta. Deci $P (A | X_{1} = C) = \frac{1}{4}$

\begin{aligned} P (A_{4}) & = P (A_{4} | X_{1} = C) \cdot P (X_{1} = C) + P (A_{4} | X_{1} = P) \cdot P (X_{1} = P) \\ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \\ = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}}{2} = \frac{3}{16} \end{aligned}

Extindem la 5

\begin{aligned} P (A_{5}) & = \frac{P (A_{5} | X_{1} = C) + P (A_{5} | X_{1} = P)}{2} = \\ = \frac{P (A_{5} | X_{1} = C) + P (A_{4})}{2} = \\ = \frac{\frac{P (A_{5} | X_{1} = X_{2} = C) + P (A_{5} | X_{1} = C, X_{2} = P)}{2} + P (A_{4})}{2} = \\ = \frac{\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{8}}{2} + \frac{3}{16}}{2} \end{aligned}

Extindem la 6

P (A_{6}) = \frac{P (A_{5}) + \frac{P (A_{4}) + \frac{P (A_{3}) + 1}{2}}{2}}{2}

Generalizând

P (A_{n}) = \frac{P (A_{n - 1}) + \frac{P (A_{n - 2}) + \frac{P (A_{n - 3}) + 1}{2}}{2}}{2}