Proprietăți

$P (\emptyset) = 0$
$P (A^{C}) = P (Ω ∖ A) = 1 - P (A)$
$A \subseteq B ⟹ P (B ∖ A) = P (B) - P (A)$
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ - cazul general

Exemplu

La începutul unui joc de table, care este probabilitatea să formăm o „poartă în casă”?
Dar dacă observăm că primul zar a căzut 6, cum se modifică probabilitatea?

Rezolvare

Întrebarea (1)

\begin{aligned} Ω = {1, 2, \dots, 6} \times {1, 2, \dots, 6} & = {(i, j) | i, j \in {1, \dots, 6}}, | Ω | = 36 \\ ⟹ F = P (Ω) = {A | A \subset Ω} \end{aligned}

P ({(i, j)}) = \frac{1}{Ω} = \frac{1}{36}

Definim:

\begin{aligned} A = {„Poarta in casa"} & = {(i, j) | | i - j | = 2, i, j \in {1, \dots, 6}} \\ \cup {(i, i) | i \in {1, \dots, 6}} \end{aligned}

Avem probabilitatea

P (A) = P (A_{1} \cup A_{2}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) = \frac{8}{36} + \frac{6}{36} = \frac{14}{26} = \frac{7}{18}

Întrebarea (2)

B = {(6, i) | i \in 1, \dots, 6}

Probabilitatea Condiționată

Avem două evenimente $A$ și $B$ . Dacă $B$ se întâmplă, atunci $Ω$ devine $B$ , iar $A$ devine $A \cap B$ .

Definiția probabilităților condiționate: ( $A$ condiționat de $B$ )

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

A \cup B = {(6, 4), (6, 6)} ⟹ P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Important

$P (A \cap B) = P (A | B) \cdot P (B)$

Independență

Definition

Numim A și B independente dacă $P (A | B) = P (A)$ .

Notație $A ⊥ ⊥ B \leftrightarrow B ⊥ ⊥ A$ .

De aici rezultă $A, B$ independente $⟹ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ (mai ușor de folosit).

Exemple

i) Ce secvență de aruncări e mai probabilă?

C C C C C C C
C P C P C P C
C C P P C P P

Evenimentele sunt echiprobabile.

ii) Aruncăm 2 zaruri și considerăm următoarele evenimente:

$A$ = Primul zar e $\leq$ 2. $P (A) = \frac{1}{3}$
$B$ = Suma zarurilor este 7. $P (B) = P ({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1_{})}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
$C$ = Al doilea zar este par. $P (C) = \frac{1}{2}$

Care perechi din ele sunt perechi de evenimente independente?

$A ⊥ ⊥ C$

P (A \cap C) = P ({(1, 2), \dots, (1, 6), (2, 2), \dots, (2, 6)}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} = P (A) \cdot P (C)

$A ⊥ ⊥ B$

A \cap B = {(1, 6), (2, 5)} ⟹ P (A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} = P (A) \cdot P (B)

Tip

Acest lucru funcționează pentru că, atât 1 cât și 2 au un complement care corespunde pentru a da suma 7.

Dacă am avea altă sumă (e.g., 9), evenimentele ar fi dependente, pentru că evenimentul A modifică probabilitatea evenimentului B. $P (A \cap B) = 0$

$B ⊥ ⊥ C$

P (B \cap C) = P ({(1, 6), (3, 4), (5, 2)}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = P (B) \cdot P (C)

Proprietăți

Pentru $(Ω, F, P)$ .

$A ⊥ ⊥ \emptyset$ și $A ⊥ ⊥ Ω$ , $\forall A \in F$

P (A \cap \emptyset) = P (\emptyset) = 0 = P (A) \cdot P (\emptyset)

P (A \cap Ω) = P (A) \cdot 1 = P (A) \cdot P (Ω)

$A ⊥ ⊥ A \Leftrightarrow P (A \cap A) = P (A) \cdot P (A) ⟹ P (A) \in {0, 1}$
Dacă $A ⊥ ⊥ B$

P (A \cap B) = 0 \Leftrightarrow P (A) = 0 sau P (B) = 0

Deci disjuncte $\neq$ independente (cu excepția evenimentului imposibil.) (Disjuncția este deja o relație între evenimente, care le face să fie dependente).