gal.c7

Fie un spațiu vectorial $(V, +, \cdot) |_{K}$ , astfel încât $V = V_{1} \oplus V_{2}$ .

O proiecție pe $V_{1}$ este o funcție $p : V 1 \oplus V 2 \to V 1$ :

O simetrie față de $V_{2}$ este o funcție $s : V 1 \oplus V 2 \to V 1$ :

Fie:
$R = R_{1} \cup R_{2} reper în V R_{i} este reper în V_{i}$
$R_{1} = {e_{1}, . . ., e_{k}}, R_{2} = {e_{k + 1}, . . ., e_{n}} \dim V = n$

$p (e_{i}) = e_{i}, \forall i = \overset{―}{1, k} p (e_{j}) = 0, \forall j = \overset{―}{k + 1, n}$

$[p]_{R, R} = A_{p} = (\begin{matrix} I_{k} & O_{k (n - k)} \\ O_{(n - k) k} & O_{(n - k) (n - k)} \end{matrix}) \in M_{n} (K)$

$fie x \in V, x s.n. vector propriu \Leftrightarrow \exists λ \in K (valoare proprie) a.î. f (x) = λ x .$

$V_{λ} = {x \in V | f (x) = λ x} subspațiul propriu corespunzător valorii λ$

$V_{λ}$ este un subspațiu invariant al lui $f$ , i.e. $f (V_{λ}) \subseteq V_{λ}$

Fie:

f \in E n d (V), R = {e_{1}, . . ., e_{n}} reper în V, [f]_{R, R} = A .

Polinomul caracteristic este definit ca:

P_{A} (λ) = det (A - λ I_{n}) = | \begin{matrix} a_{11} - λ & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} - λ & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} - λ \end{matrix} |

Și este egal cu:

P_{A} (λ) = (- 1)^{n} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} σ_{k} λ^{k}

Unde $λ_{k}$ este suma minorilor diagonali de ordin $k$ .

$δ_{i j} = {\begin{cases} 0, & i \neq j \\ 1, & i = j \end{cases}$

Astfel, din $f (x) = λ x$ , poate fi dedus:

\sum_{i = 1}^{n} (a_{j i} - λ δ_{j i}) x_{i} = 0 \forall j = \overset{―}{1, n}

SLO care are și soluții nenule $\Rightarrow$ SCN.

Este echivalent cu $P_{A} (λ) = 0$ .

De asemenea, polinomul caracteristic se poate rescrie

P_{A} (λ) = (- 1)^{n} (λ - λ_{1})^{m_{1}} (λ - λ_{2})^{m_{2}} \dots (λ - λ_{n})^{m_{n}} unde \sum_{i = 0}^{n} m_{i} = n, multiplicitățile

$σ_{f} = {λ_{1}, \dots, λ_{n}} - spectrul lui f$

Fie $f \in E n d (V)$ Vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte formează un SLI.

În cazul $f \in E n d (V)$ , unde $λ$ = valoare proprie cu multiplicitate $m_{λ}$ avem:

\dim V_{λ} \leq m_{λ}

Teorema de Diagonalizare
Fie $f \in E n d (V)$ .

\exists R = {e_{1}, \dots, e_{n}} în V astfel încât [f]_{R, R} diagonală \Leftrightarrow

{\begin{cases} 1) & λ_{1}, \dots, λ_{k} \in K \\ 2) & V_{λ_{i}} = m_{i}, & \forall i \in \overset{―}{1, k} \end{cases}