Matrice. Determinanți. Rang. Forma eșalon

Fie $(K, +, \cdot)$ un corp comutativ.

Determinantul

Definiție

$\det : M_{n} (K) \to K$ , $A = (a_{i j})_{i, j = \overset{―}{1, n}}$ o matrice.

Se numește determinantul matricii $A$ :

\det A = \sum_{σ \in S_{n}} ε (σ) a_{1 σ (1)} a_{2 σ (2)} \dots a_{n σ (n)}

Unde $(S_{n}, \cdot)$ grupul permutărilor. $| S_{n} | = n!$

σ : {1, 2, \dots, n} \to {1, 2, \dots, n} o bijectie

σ = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n \\ σ (1) & σ (2) & \dots & σ (n) \end{matrix})

Iar unde signatura este $ε (σ) = (- 1)^{m (σ)}$ , iar $m (σ)$ = numărul inversiunilor.

Reminder

$(i, j)$ se numește inversiune a lui $σ ⟺ {\begin{cases} i < j \\ σ (i) > σ (j) \end{cases}$

Matrice singulară, nesingulară

Definiție

$A \in M_{n} (K)$ o matrice

$A$ se numește nesingulară $⟺ \det A \neq 0$
$A$ se numește singulară $⟺ \det A = 0$

Proprietate
$A$ nesingulară $⟺$ $A$ inversabilă.

Proprietăți ale determinantului

$\det (A B) = \det A \cdot \det B$
$\det (A^{⊤}) = \det A$ , unde $A^{⊤} = (b_{i j})_{i, j = \overset{―}{1, n}} b_{i j} = a_{j i}$
$Tr (A + B) = Tr A + Tr B$ Unde $Tr A = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$ urma matricii $A$
$Tr (A B) = Tr (B A)$
$Tr (α A) = α Tr A$
$\det A^{- 1} = \frac{1}{\det A}$

Motivație:

\begin{array}{r} \det (A A^{- 1}) = \det (I_{n}) = 1 ⟺ \det (A) \det (A^{- 1}) = 1 \end{array}

$det A^{*} = det A^{n - 1}$

Observație - inversarea unei matrici

A \to A^{⊤} \to A^{*} \to A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}

Unde $A^{*}$

A_{i j}^{*} = (- 1)^{i + j} δ_{i j} δ_{i j} = minorul

Grupuri de matrici

$GL (n, K) = {A \in M_{n} (K) | det A \neq 0}$ Grupul General Liniar
$SL (n, K) = {A \in GL (n, K) | det A = 1)}$ Grupul Special Liniar
$O (n, K) = {A \in M_{n} (K) | A \cdot A^{⊤} = I_{n}}$ Grupul Ortogonal ( $det A = \pm 1$ )
$SO (n, K) = {A \in O (n, K) | det A = 1)}$ Grupul Special Ortogonal

Observație

SO (n, K) = SL (n, K) \cap GL (n, K)

Rang

Pentru o matrice $A \in M_{m, n} (K)$ ( $A \neq O_{m, n}$ ), rangul este $k$ $⟺$ $\exists$ un minor ordin $k$ nenul, iar toți minorii de ordin mai mare (dacă există) sunt nuli.

Notăm

rg A = k

Convenție: $rg O_{m, n} = 0$

Observație

Există $C_{m}^{k + 1} \cdot C_{n}^{k + 1}$ minori de ordin $k + 1$ pentru $A$ .

Teorema

$rg A = k ⟺$ Există un minor de ordin $k$ nenul și toți minorii de ordin $k + 1$ care îl conțin pe $Δ_{k}$ (dacă există) sunt nuli.

Observație

Există $(m - k) (n - k)$ minori de ordinul $k + 1$ care îl conțin pe $Δ_{k}$ . (am optimizat algoritmul)

Exercițiul 1

Fie matricea $A \in M_{3} (R)$ definită prin

A = (\begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix}) .

Determinați $rang A$ în funcție de $a \in R$ .

Soluție

Tip

$A$ e pătratică $⟹$ mare $\to$ mic.

Calculăm determinantul:

Δ = det (A) = | \begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix} | .

Adunăm liniile:

L_{1}^{'} = L_{1} + L_{2} + L_{3} \Rightarrow Δ = | \begin{matrix} a + 2 & a + 2 & a + 2 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix} | = (a + 2) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix} | .

Scădem prima linie din celelalte două:

L_{2}^{'} = L_{2} - L_{1}, L_{3}^{'} = L_{3} - L_{1} \Rightarrow | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 \end{matrix} | = (a - 1)^{2} .

Prin urmare:

Δ = (a + 2) (a - 1)^{2} .

Determinantul se anulează pentru

a = - 2

și

a = 1

Din această expresie deducem:

Dacă $a \neq - 2$ și $a \neq 1$ , atunci $Δ \neq 0$ , deci $rang A = 3$ .
Dacă $a = 1$ , atunci $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$ , deci $rang A = 1$ .
Dacă $a = - 2$ , se verifică că $rang A = 2$ .

Astfel:

rang A = {\begin{cases} 3, & a \neq - 2, 1, \\ 1, & a = 1, \\ 2, & a = - 2. \end{cases}

Exercițiul 2

Tip

$A$ nu este pătratică $⟹$ mix $\to$ mare.

Fie $A$ , aflați rangul

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 6 & 4 & 8 & 3 \end{matrix})

Soluție

\begin{aligned} Δ_{1} = 1 \neq 0 \\ Δ_{2} = | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array} | = - 1 \neq 0 \\ Δ_{3} = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 6 & 4 & 3 \end{array} | \overset{l_{3}^{'} = l_{3} - 6 l_{1}}{=} | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & - 2 & - 3 \end{array} | = | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - 3 \end{array} | = 1 \neq 0 \end{aligned}

Deci $rang A = 3$ .

Exercițiul 3: Rangul matricilor care satisfac o ecuație polinomială

Fie $A \in M_{n} (R)$ astfel încât

A^{3} - A - I_{n} = 0_{n} .

a) Determinați $rang A$ .
b) Determinați $rang (A + I_{n})$ .

Soluție

a) Din ecuație:

A (A^{2} - I_{n}) = I_{n} ⟹ det (A) \cdot det (A^{2} - I_{n}) = det (I_{n}) = 1 ⟹ det (A) \neq 0,

deci $A$ este inversibilă și

rang A = n .

b) Observăm că

(A - I_{n}) (A + I_{n}) = A^{2} - I_{n} ⟹ A (A - I_{n}) (A + I_{n}) = I_{n},

de unde, aplicând determinantul,

det (A) \cdot det (A - I_{n}) \cdot det (A + I_{n}) = 1 ⟹ det (A + I_{n}) \neq 0,

astfel și $A + I_{n}$ este inversabilă, deci

rang (A + I_{n}) = n .