Funcția de repartiție a unei v.a.

Definition

Fie $X : Ω \to S$ o v.a. discretă cu distribuția $μ_{x} (A) = P (X \in A), \forall A \in S = P (A)$ .

Numim $F : R \to [0, 1]$ unde $F (x) = P (X \leq x) = μ_{x} ((- \infty, x])$ funcție de repartiție X.

Proprietăți

este crescătoare
Are limitele:

lim_{x \to - \infty} F (x) = 0 lim_{x \to \infty} F (x) = 1

$F$ continuă la dreapta

Funcția de repartiție determină în mod unic distribuția lui X.

exemple. vezi curs Teams

Exemple de variabile aleatoare

Variabila aleatoare geometrică

Numărul de experimente Bernoulli independente de probabilitate $P > 0$ efectuate până la primul succes se modelează cu o v.a. geometrică.

X : Ω \to {1, 2, \dots}

Avem distribuția (not. $q = 1 - p$ )

X \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n & \dots \\ p & q p & q^{2} p & \dots & q^{n} p & \dots \end{matrix})

Verificăm dacă este funcție de masă

\sum_{n = 1}^{\infty} q^{n - 1} p = p \sum_{n = 1}^{\infty} q^{n} = p \cdot \frac{1}{1 - q} = 1

Vrem să aflăm funcția de repartiție:

\begin{aligned} P (X \leq 3) & = P (X = 1) + P (X = 2) + \dots \\ = 1 - P (X > 3) \\ = 1 - q^{3} \end{aligned}

Deci avem

P (X \leq n) = 1 - P (X > n) = 1 - q^{n}

Notation

$X \sim Geom (P)$

Exemplu

$X \sim Geom (\frac{1}{2})$

Vrem

P (X > 7 | X > 5) = P (X > 2)

Această proprietate se numește lipsa de memorie a variabilei aleatoare.

Lipsa de memorie

$X : Ω \to N$ v.a. discretă nu are memorie dacă $\forall n, m \in N$

P (X > n + m | X > m) = P (X > n)

Proprietăți
Fie $X : Ω \to N$ o v.a. discretă.

X \sim Geom (p) \Leftrightarrow X fara memorie

Demonstrație

X \sim Geom (P) ⟺ P (x \leq n) = 1 - q^{n}

" $⟹$ "
Fie $X \sim Geom (P) \Leftrightarrow P (X > n) = q^{n}$

" $⟸$ "

Fie $X : Ω \to N$ astfel încât

P (X > m + n | X > n) = P (X > m), \forall n, m \in N

Avem

\begin{aligned} P (X > 2) = P (X > 1)^{2} \\ P (X > 3) = P (X > 2) \cdot P (X > 1) = P (X - 1)^{3} \\ ⋮ \\ P (X > n) = P (X > 1)^{n} \end{aligned}

notăm $P (X > 1) = q$
Atunci

P (X > n) = q^{n} ⟹ X \sim Geom (P) ◻

Exemplu

Primesc pe medie $λ = 2$ mesaje pe oră pe Whatsapp. Cum aș putea calcula probabilitatea să primesc mai mult de 5 mesaje într-o oră?

Considerăm ora $n = 3600$ de secunde și considerăm că putem primi maxim un mesaj pe secundă. Prin urmare probabilitatea să primesc un mesaj este:

\frac{λ}{n} = \frac{2}{3600} = \frac{1}{1800}

Notăm $X$ = numărul de mesaje pe oră. În fiecare secundă avem un Bernoulli de parametru $P = \frac{λ}{n}$

X \sim Bin (n, \frac{λ}{n})

Vrem să aflăm $P (X \geq 5)$

Avem

P (X \geq 5) = 1 - P (X \leq 4) = 1 - \sum_{k = 0}^{4} C_{n}^{k} {(\frac{λ}{n})}^{k} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n k}

În caz real $n \to \infty$ .
calcul în cursul de pe Teams.

Exemplu de v.a. discretă Poisson.

Numărul de evenimente rare (ce nu se pot întâmpla simultan) într-o perioadă fixă de timp se modelează cu o variabilă aleatoare Poisson( $λ$ ).