Variabile Aleatoare

Observații

E [f (x)] \neq f (E [X]

\begin{aligned} E [a \cdot X + b] & = \sum_{n \geq_{1}} (a x_{n} + b) \cdot P (x_{n}) = \\ = a \sum_{n \geq_{1}} x_{n} P (x_{n}) + b \sum_{n \geq_{1}} P (x_{n}) = \\ = a \cdot E [X] + b \cdot 1 = a \cdot E [X] + b \end{aligned}

E [a \cdot X + b \cdot Y + c] = a \cdot E [X] + b \cdot E [Y] + c

Definition

Fie $X$ o v.a. aleatoare cu medie $μ = E [X]$ .

Definim varianța lui $X$ ca fiind abaterea medie pătratică:

\begin{aligned} V ar [X] & = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2} - 2 μ X + μ^{2}] = \\ = E [X^{2}] - 2 μ \cdot E [X] + E [μ^{2}] = \\ = E [X^{2}] - 2 μ \cdot μ + μ^{2} = \\ = E [X^{2}] - μ^{2} \end{aligned}

Exemplu

X \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n & . . . \\ c & \frac{c}{2^{2}} & \frac{c}{3^{2}} & \dots & \frac{c}{n^{2}} & \dots \end{matrix})

Calculând media

E [X] = \sum_{n \geq 1} \frac{c}{n} ⟹ variabila fara medie

E [X^{2}] = \sum_{n \geq 1} c ⟹ varibila fara varianta

Exemplu 2

x \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n & \dots \\ c & \frac{c}{2^{3}} & \dots & \frac{c}{n^{3}} & \dots \end{matrix})

Calculăm media

E [X] = \sum_{n \geq 1} \frac{c}{n^{2}} (converge)

Si varianța

E [X^{2}] = \sum_{n \geq 1} \frac{c}{n} (nu converge, nu are varianta)

Proprietăți

Definition

Fie $X$ o v.a. discretă cu $E [X^{2}] < \infty$ . Definim deviația standard a lui X:

σ_{X} = \sqrt{V ar [X]}

$σ_{a X} = \sqrt{V ar [a X]} = \sqrt{a^{2} \cdot V ar [X]} = | a | \sqrt{V ar [X]} = | a | σ_{x}$

Exemple de v.a. discrete

Orice experiment aleator a cărui rezultat poate fi catalogat ca eșec (0) sau succes (1) se numește experiment Bernoulli.

Avem $X \sim Bernoulli (P)$ :
$X : Ω \to {0, 1}$ , avem probabilitatea $P_{x} (1) = P (X = 1) = p \in [0, 1]$ :

X \sim (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 - p & p \end{matrix})

Calculăm media

E [X] = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p E [X^{2}] = 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p

Calculăm varianța

V ar [X] = E [X^{2}] - E [X]^{2} = p - p^{2} = (1 - p) p

Și deviația standard

σ_{X} [X] = \sqrt{V ar [X]} = \sqrt{p (1 - p)}

(Deviația standard -> cât de mult mă pot abate de la medie).

Numărul de succese la n experimente Bernoulli de probabilitate $p$ de succes se modelează cu v.a. Binomială.

$X : Ω \to {0, 1, \dots, n}$ v.a. discretă:

X \sim (\begin{matrix} 0 & 1 & \dots & k & \dots & n \\ (1 - p)^{n} & n \cdot p (1 - p)^{n - 1} & \dots & C_{n}^{k} \cdot p^{k} (1 - p)^{n - k} & \dots & p^{n} \end{matrix})

Verificăm că $P_{x} (k) = P (X = k)$ este o funcție de masă

\sum_{k = 0}^{n} P_{x} (k) = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} \cdot p^{k} (1 - p)^{n - k} = (p + 1 - p)^{n} = 1 ◻

Aflăm media

\begin{aligned} E [X] & = \sum_{k = 0}^{n} k \cdot C_{n}^{k} \cdot p^{k} (1 - p)^{n - k} = \\ = \sum_{k = 0}^{n} k \cdot \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} \cdot p^{k} (1 - p)^{n - k} = (putem elimina k = 0) \\ = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(n - k)! (k - 1)!} \cdot p^{k} (1 - p)^{n - k} = \\ = n \sum_{k = 1}^{n} \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} \cdot p^{k} (1 - p)^{n - k} = \\ = n p \sum_{k = 1}^{n} \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} p^{k - 1} (1 - p)^{n - k} = \\ = n p \sum_{k = 1}^{n} C_{n - 1}^{k - 1} \cdot p^{k - 1} (1 - p)^{n - k} = \\ = n p (p + 1 - p)^{n - 1} = \\ = n p \end{aligned}

Pentru varianță

E [X^{2}] = \sum_{k = 0}^{n} k^{n} C_{n}^{k} \cdot p^{k} (1 - p)^{n - k}

Putem folosi $k^{2} = k (k - 1) + k$ ca artificiu de calcul.

Mai simplu, fie $X_{i}$ experimentul Bernoulli

X \sim (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 - p & p \end{matrix})

Variabila Binomială

X = X_{1} + X_{2} + \dots X_{n}

Media

E [X] = E [X_{1}] + \dots E [X_{n}] = n p

Ne interesează varianța. Problema principală: $V ar [X + Y] = ?$

Contraexemple pentru $V ar [X + Y] = V ar [X] + V ar [Y]$ :

V ar [X + Y] = V ar [0] = 0

Dar

V ar [X] + V ar [Y] = 2 \cdot V ar [X]

V ar [X + Y] = V ar [2 \cdot X] = 4 \cdot V ar [X]

Dar

V ar [X] + V ar [Y] = 2 \cdot V ar [X]

Proprietăți

\begin{aligned} V ar [X + Y] & = E [(X + Y)^{2}] - E [X + Y]^{2} \\ = E [X^{2} - 2 X Y + Y^{2}] - (E [X]^{2} - 2 \cdot E [X] E [Y] + E [Y]^{2}) \\ = V ar [X + Y] = V ar [X] + V ar [Y] \end{aligned}

ii)

E [X \cdot Y] = \sum_{i, j = 1}^{n} x_{i} y_{j} P (x = x_{i}) P (y = y_{j}) = E [X] \cdot E [Y]