Variabile aleatoare

Exemplu (Catan)

Aruncăm cu două zaruri și ne interesează probabilitatea ca suma lor să fie 8.

$Ω = {(i, j) | i, j = \overset{―}{1, 6}}$ $P ({(i, j)}) = \frac{1}{36}$

Ne interesează evenimentul $A = {ω = (i, j) \in Ω | i + j = 8}$

$X ((i, j)) = i + j, \forall i, j = \overset{―}{1, 6}$ , $X : Ω \to {2, 3, \dots, 12}$

A = {ω \in Ω | X (ω) = 8} = X^{- 1} ({8}) = {X = 8}

(ultima notație e specifică probabilităților)
Deci ne interesează

P (X = 8) = P (A) = \frac{5}{36} = P (X = 6)

Cea mai mare probabilitate

P (X = 7) = \frac{6}{36}

Restul sunt simetrice

P (X = 9) = P (X = 5) = \frac{4}{36}

)

Important

Pentru $X : Ω \to S$ numim $μ_{X} : S \to [0, 1]$ distribuția lui $X$ .

Observații

μ_{X} = P ({X \in S}) = P ({ω \in Ω | X (ω) \in S}) = P (Ω) = 1

Fie $(B_{n})_{n} \in S$ disjuncte două câte două.

\begin{aligned} μ_{X} (⋃_{n \geq 1} B_{n}) = P ({X \in ⋃_{n \geq 1} B_{n}}) & = P (⋃_{n \geq_{1}} {X \in B_{n}}) = \\ = \sum_{n \geq 1} P ({X \in B_{n}}) = \\ = \sum_{n \geq 1} μ_{X} (B_{n}) \end{aligned}

$X$ face legătura între 2 spații de probabilități $(Ω, F, P)$ și $(S, S, μ_{X})$ .
Dacă $S$ cel mult numărabil, $S = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots} = ⋃_{n \in N} {x_{n}}$

Fie

B \in S = P (S) ⟹ B = ⋃_{x_{k} \in B_{k}} {x_{k}} = \sum_{x_{k} \in B} μ_{X} ({x_{k}})

Definition

Fie $X : Ω \to S = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots}$ v.a. discretă.

Numim $P_{x} (x_{k}) μ_{X} ({x_{k}}), \forall x_{k} \in S$ funcția de masă a v.a. x (pmf -> probability mass function).

Observație

Funcția de masă $P_{x}$ determină în mod unic distribuția $μ_{x}$ .

Notație

X \sim (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} & \dots \\ P_{x} (x_{1}) & P_{x} (x_{2}) & \dots & P_{x} (x_{n}) & \dots \end{matrix})

Exemplu Catan

X \sim (\begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \end{matrix})

Proprietăți

$P_{x} (x_{k}) = P (X = x_{k}) > 0$
$\sum_{k \geq 1} P_{x} (x_{k}) = \sum_{k \geq_{1}} μ_{x} (x_{k}) = μ_{x} (⋃_{k \geq_{1}} {x_{k}}) = μ_{x} (S) = 1$

Observație
Orice funcție $P : s \to [0, 1]$ cu proprietățile de mai sus definește o funcție de masă a v.a. $X$ .

Exemple

X \sim (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} & \dots \\ c & c & \dots & c & \dots \end{matrix}) c > 0

Calculăm totalul

\sum_{n \geq_{1}} P_{x} (x_{k}) = \sum_{n \geq 1} c divergenta!

Warning

Nu există distribuții echiprobabile pentru spații de stări infinite!

X \sim (\begin{matrix} x_{2} & \dots & x_{n} & \dots \\ \frac{1}{2} & \dots & \frac{1}{n} & \dots \end{matrix})

Calculăm totalul

\sum_{n \geq_{1}} P_{x} (x_{n}) = \sum_{n \geq_{2}} \frac{1}{n} = + \infty divergenta!

Media unei variabile

Fie $X$ o v.a. discretă distribuită astfel

X \sim (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} & \dots \\ P_{1} & P_{2} & \dots & P_{n} & \dots \end{matrix})

E [X] = \sum_{n \geq_{1}} x_{n} P_{n}

Dacă

\sum_{n \geq_{1}} | x_{n} | P_{n} < + \infty

X \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n & \dots \\ \frac{c}{1^{2}} & \frac{c}{2^{2}} & \frac{c}{3^{2}} & \dots & \frac{c}{n^{2}} & \dots \end{matrix})

P_{n} = P (X = n) = \frac{c}{n^{2}}

Să fie o funcție de masă.

Rezolvare

c > 0 1 = \sum_{n \geq_{1}} \frac{c}{n^{2}} = c \cdot \frac{π^{2}}{6} ⟹ c = \frac{6}{π^{2}} P_{n} = \frac{6}{π^{2} \cdot n^{2}}

Rezolvare

\sum_{n \geq_{1}} x_{n} P_{n} = \sum_{n \geq_{1}} n \cdot \frac{6}{π^{2} \cdot n^{2}} = \sum_{n \geq_{1}} \frac{6}{π^{2} \cdot n} = + \infty

Arunc un zar și primesc pătratul rezultatului în lei. Cât câștig în medie?

Rezolvare

X \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{matrix}) E [X] = \frac{21}{6}

X^{2} \sim (\begin{matrix} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{matrix}) E [X^{2}] = \frac{91}{6} \neq E [X]^{2} = \frac{21^{2}}{6^{2}} = \frac{49}{4}

Generalizare: Formula de transport (L.o.t.u.s = Law of the unconscious statistician).

Pentru $X : Ω \to S$ o v.a. discretă cu funcția de masă $P_{x} : Ω \to [0, 1]$ și $f$ o funcție oarecare $f : S \to R$ .

E [f (X)] = \sum_{k \geq 1} f (x_{k}) P_{x} daca \sum_{k \geq 1} | f (x_{k}) | P_{x} < \infty