Probabilități condiționate

Exemplu 1

Pentru un examen, Andrei învață 1 capitol din 14. Examenul se desfășoară astfel: Mihai alege aleator o întrebare din cele 14 capitole, cu 5 variante de răspuns, din care doar una singură corectă:

Probabilitatea ca Andrei să răspundă corect, știind că alege la întâmplare o variantă de răspuns în caz că nimerește un capitol pe care nu l-a învățat.

$S$ = Andrei știe să răspundă la întrebarea din capitolul aleator

$P (S) = \frac{1}{14}$

$C$ = Andrei răspunde corect. $P (C)$ = ?

Avem

P (C | S) = 1 = \frac{P (C \cap S)}{P (S)} P (C | S^{C}) = \frac{1}{5} = \frac{P (C \cap S^{C})}{P (S^{C})}

Deci

\begin{aligned} P (C) & = P ((C \cap S) \cup (C \cap S^{C})) \\ = P (C | S) P (S) + P (C | S^{C}) P (S^{C}) \\ = 1 \frac{1}{14} + \frac{1}{5} \frac{13}{14} = \frac{18}{70} = 0.257 = 25.7 % \end{aligned}

Mihai vede că Andrei a bifat corect și se întreabă care este probabilitatea ca Andrei să nu fi știut răspunsul, dar să îl fi ghicit.

Probabilitatea este $P (S^{C} | C)$ .

\begin{aligned} P (S^{C} | C) & = \frac{P (S^{C} \cap C)}{P (C)} \\ = \frac{P (C | S^{C}) \cdot P (S^{C})}{P (C)} \\ = \frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{13}{14}}{\frac{9}{35}} = \frac{13}{18} = 0.72 = 72 % \end{aligned}

Observații

Pentru $A, B \in F$ , $B$ și $B^{C}$ formează o partiție a lui $Ω$ .

\begin{aligned} P (A) & = P ((A \cap B) \cup (A \cap B^{C})) = P (A \cap B) + P (A \cap B^{C}) \\ = P (A | B) \cdot P (B) + P (A | B^{C}) \cdot P (B^{C}) \end{aligned}

Generalizare

B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n} \in F partitie Ω ⋃_{i = 1}^{n} B_{i} = Ω si B_{i} \cap B_{j} = \emptyset, \forall i \neq j

Avem:

P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (A | B_{i}) \cdot P (B_{i})

Formula lui Bayes

P (B | A) = \frac{P (B \cap A)}{P (A)} = P (A | B) \cdot \frac{P (B)}{P (A)}

Exemplu 2

În Iunie 2020, se estimează că $0.1 %$ din populație avea COVID. Un test rapid antigen are următoarele caracteristici:

din 100 de bolnavi testați, 98 sunt depistați pozitivi [Sensibilitatea testului].
din 100 de oameni sănătoși testați, 99 sunt depistați negativ [Specificitatea testului ].

Mă testez și ies pozitiv. Care e probabilitatea să am covid?

Rezolvare

$B$ = Am COVID. Probabilitatea este $P (B) = \frac{1}{1000}$
$+$ = Testat pozitiv.

P (B | +) = ?

Informațiile din enunț

\begin{aligned} 1. P (+ | B) = \frac{98}{100} \\ 2. P (+ | B^{C}) = \frac{1}{100} \end{aligned}

Aplicând formula lui Bayes:

\begin{aligned} P (B | +) & = P (+ | B) \cdot \frac{P (B)}{P (+)} = \\ = \frac{P (+ | B) \cdot P (B)}{P (+ | B) \cdot P (B) + P (+ | B^{C}) \cdot P (B^{C})} = \\ = \frac{\frac{98}{100} \cdot \frac{1}{1000}}{\frac{98}{100} \cdot \frac{1}{1000} + \frac{1}{100} \cdot \frac{999}{1000}} = \frac{98}{98 + 999} = \frac{98}{1097} \end{aligned}

Probabilitatea a priori este esențială pentru a calcula această probabilitate. Testul are doar scopul de a îmbunătăți probabilitatea față de cea a priori.

Ce se întâmplă dacă fac 2 teste?

$+_{1}$ = primul test e pozitiv

$+_{2}$ = al doilea test e pozitiv

\begin{array}{r} P (B | +_{1} +_{2}) = P (+_{1} +_{2} | B) \cdot \frac{P (B)}{P (+_{1} +_{2})} \end{array}

Definition

$A$ și $B$ sunt independente condiționat de $C$ dacă

P (A | B \cap C) = P (A | C)

Putem rescrie

P (A | B \cap C) = \frac{P (A \cap B | C)}{P (B | C)} ⟹ P (A \cap B | C) = P (A | C) \cdot P (B | C)

Deci avem

+_{1} ⊥ ⊥ +_{2} | B ⟹ P (+_{1} +_{2} | B) = P (+_{1} | B) \cdot P (+_{2} | B) = {(\frac{98}{100})}^{2}

Reluăm calculul

\begin{aligned} P (B | +_{1} +_{2}) & = P (+_{1} +_{2} | B) \cdot \frac{P (B)}{P (+_{1} +_{2})} \\ = {(\frac{98}{100})}^{2} \cdot \frac{1}{1000} \cdot \\ \frac{1}{P (+_{1} +_{2} | B) \cdot P (B) + P (+_{1} +_{2} | B^{C}) \cdot P (B^{C})} \\ = \frac{98^{2}}{98^{2} + 999} = 90 % \end{aligned}

La primul test, fiind foarte mulți oameni sănătoși, existau foarte multe false positives. Numărul scade mult mai rapid la mai multe teste