Introducere

A. Structura cursului

1. Probabilități

Spațiu de probabilitate
Independență și condiționare

2. Variabile aleatoare

Discrete
Continue

3. Legea numerelor mari și Teorema Limită Centrală

4. Statistică

Discutat și în timpul laboratorului.

B. Probabilități

1. Spațiu de probabilități

Definition

a) Experiment = orice rezultat obținut în urma unui fenomen aleator. Notația este $ω$
b) Spațiu total = mulțimea tuturor experimentelor posibile . Notația este $Ω$ .

Exemple

i) Aruncăm cu zarul: $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ (notăm fețele) - mulțimi de experimente finite
ii) Număr vizitatori al unui site: $Ω = {0, 1, 2, \dots} = N$ - mulțimi de experimente infinite numărabile.
iii) Tipul de execuție a unui cod: $Ω = (0, + \infty)$ - mulțimi de experimente infinit nenumărabile.

i), ii) - Modele discrete.

iii) - Modele continue.

Definition

Numim eveniment orice mulțime de experimente și o reprezentăm, de regulă, sub forma:

$A = {ω \in Ω | ω satisface o proprietate data}$

Exemplu

i) Evenimentul "Dau cu zarul număr par"

$A = {2, 4, 6} \subseteq Ω$

Operații logice cu evenimente

i) A sau B: $A \cup B$
ii) A și B: $A \cap B$
iii) A și nu B: $A ∖ B$
iv) nu A: $C_{Ω} (A)$
v) A și B formează o partiție a lui $Ω$
- $A \cup B = Ω$
- $A \cap B = \emptyset$

Legile lui De Morgan

i) $(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$
ii) $(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$
iii) $(⋃_{n \geq 1} A_{n})^{C} = ⋂_{n \geq 1} A_{n}^{C}$

Definition

O familie de evenimente $\emptyset \neq F \subseteq P (Ω)$ se numește $σ$ -algebră dacă:

$A \in F ⟹ A^{C} \in F$
$(A_{n})_{n} \subseteq F ⟹ ⋃_{n \geq 1} A_{n} \in F$

Consecință:

$(A_{n})_{n} \in F ⟹ ⋂ A_{n} \in F$

Notația: $(Ω, F)$ - spațiu măsurabil

Exemple

i) dacă $Ω$ finită, $| Ω | = n$ , atunci $F = P (n)$ este $σ$ -algebra.

ii) dacă $Ω$ infinit numărabilă, atunci $F = P (n)$ este $σ$ -algebră.

iii) dacă $Ω$ infinit nenumărabilă, $P (Ω)$ nu este o $σ$ -algebră; (exemplu la numerele reale, nu orice submulțime poate fi compusă prin complementare sau reuniune)

Definition

Fie $(Ω, F)$ spațiu numărabil.

Probabilitatea $P : F \to [0, 1]$ a. î.

$P (Ω) = 1$
$\forall (A_{n})_{n} \subseteq F$ disjuncte două câte două $(A_{i} \cap A_{j} = \emptyset, \forall i \neq j)$ avem $P (⋃ A_{n}) = \sum_{n \geq 1} P (A_{n})$

Notație $(Ω, F, P)$ spațiu de probabilități.

Exemplu

Care este probabilitatea să dăm cu un zar echilibrat un număr par?
Dar cu un zar măsluit în care 6 cade în jumătate din cazuri și celelalte fețe sunt echilibrate?

$Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ și $F = P (Ω)$

$P_{1} ({i}) = \frac{1}{6} ⟹ P_{1} ({2, 4, 6}) = \frac{1}{2}$